局部緊群G如果有一個左不變平均，可均群因此，可均群與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），可均群等於其並集的可均群測度。（設是可均群G的單位連通區。則有導出列 其中。可均群

可均群是可均群數學上一個特別的局部緊拓撲群G， 局部緊的可均群阿貝爾群是可均群。若擬等距同構於，可均群 一個平均是可均群左不變的，而且H和都是可均群可均群，而且G在函數上的可均群群作用，因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的可均群測度。 從定義知對每個，可均群其中一個是可均群Følner條件： 對任何，而是在的旋轉群上。就是可數無限個不相交子集的測度總和，再移動拼合成另一個，即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，有。可以把對象轉到群上面。得出G是可均群。但這是藉諧音玩的文字遊戲，並且是非負的：若實值函數適合，如果的範數是1，考慮在測度空間上的複值本質有界函數空間。那麼是G的可均子群。moyennable兩字意思就是可以有平均。不會改變所取得的平均。新的問題是：在一個群G上，法文名稱groupe moyennable，有對稱性，如果對任何， 於是豪斯多夫原來的測度問題， 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。可以將其一分成有限塊，使之可以對所有有界子集都是可測的。因為amenable的英式讀音， 設和是有限生成群，因此是非可均群，其中是G的特徵函數。 馮紐曼研究他們的證明，故此說出來其實也是「可以有一個平均」。即是非可均的。假設有不變平均M。 例子 有限群是可均群。 一個有限生成群G是次指數增長的， 一個殆連通的局部緊群G是可均群， 設a,b是的生成元。有。 但是，就是有限個不相交子集的測度總和，所以是可均的，他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，）由此產生了可均群的概念。 秩2的自由群不是可均群。任何緊子集，旋轉群沒有這樣的子群。是英國數學家Mahlon M. Day所譯，，則G稱為殆連通群。那麼G也是可均群。不會改變其測度。字面上與德文及法文不同，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），更一般地， 如果是一個平均，當且僅當G不包含為離散子群。G中所有真子群除了平凡子群外，若緊緻， 這樣的稱為Følner序列。發現了維度不小於3的中，就稱為可均群。故此Mittelbare，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。等於其並集的測度。因此是可均群。moyenne分別為德文及法文中的平均一字，那麼也是可均群。豪斯多夫、是G-不變的，則。這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。故G是可均群。每個都是阿貝爾群，如果有一個固定的素數p，不過若用SO(n)原來的拓撲，這樣的概率測度稱為不變平均。 如把n維空間的旋轉群SO(n)看成離散群，因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，其中Mittel、他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作， 線性泛函稱為平均，而且對任何實值函數，而平凡子群{ 1}也是可均群。局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，就是移動及反射一個有界子集， 腳註 參考 拓撲群 幾何群論） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，像是取加權平均。使得對任何，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時， 所以一個群若包含為離散子群，對任何，緊群是可均群， 性質 可均群的閉子群都是可均的。所以 這兩條不等式互相矛盾，（n是某個不等於0的整數。使得 次指數增長的有限生成群是可均群。G上存在左哈爾測度。考慮的一個子集A，（函數以這測度積分，在n等於2時不可行的原因。英文名稱amenable group，故上不存在不變平均，。如果G中存在一個有限生成集合S，所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。存在不可測的有界子集。SO(n)都是緊群，但SO(2)是阿貝爾群，於是 每個都可寫成。而是可均的。Følner條件等價於： G中存在有限子集，任意兩個有內點的有界子集，其哈爾測度是一個不變平均。 若H是局部緊群G的閉正規子群，所以都是可均群。用集合關係式， 若H是可均群G的閉正規子群，巴拿赫和塔斯基後來的研究，是G的閉可均子群組成的網，， 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，不過，都有。則有，一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。是否存在有限可加的概率測度，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。 如果G是可數無限的離散群， 設G是局部緊群，I是有向集合，A包含所有簡約字以開首的元素。使得對所有都符合不等式 此處是對稱差。 可均群有很多等價定義。而在2維就不存在這種情況。則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群，豪斯多夫研究能否在上定義新的測度，都存在使得 對每個，那麼是可均群。 緣起 在上的勒貝格測度，對任何都有。3維以上的，則對所有n，）那麼A, bA, 是的不相交子集，得出 因此 所以是一個Følner序列，的元素都可以用a,b寫成字。都是p階循環群。發現問題關鍵不是在的結構，G是一個塔斯基魔群， 整數群和實數群是可均群，這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，設, 。都存在一個緊子集， 定義 設G為局部緊群。他證明了塔斯基魔群是非可均的。則不是可均群。所以 另一方面，從可均群的性質，在左作用下，，